Prezentam o problema in care folosim Teorema $latex 30^{0}-60^{0}-90^{0}$

Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de $latex 30^{0}$ masoara jumatate din ipotenuza.

Este important sa stim : catetele intr-un triunghi dreptunghic sunt dreptele care formeaza unghiul de $latex 90^{0}$, iar ipotenuza este dreapta care se opune unghiului de $latex 90^{0}$.

Daca nu am invatat inca functiile trigonometrice, putem amplica Teorema $latex 30^{0}-60^{0}-90^{0}$ mai sus enuntata dar si Teorema lui Pitagora, iar in cazul in care stim functiile trigonometrice le aplicam.

Foarte important este sa stim si ca functiile trigonometrice le aplicam doar in triunghiurile dreptunghice.

PROBLEMA !

ABC- triunghi dreptunghic m(A) =90° BC=a m(B) =30°

Calculati: AB=? AC=? sin 30° cos 30° tg 30° ctg 30°

Apoi : m(C) =60° sin 60° cos 60° tg 60° ctg 60°

Solutie:

 

Cum stim ca triunghiul este dreptunghic si avem un unghi de $latex 30^{0}$ putem aplica Teorema $latex 30^{0}-60^{0}-90^{0}$, adica $latex AC=\frac{BC}{2}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}$.

Pentru a afla AB, aplicam Teorema lui Pitagora:

$latex BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow a^{2}=AB^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\Rightarrow AB^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{4a^{2}-a^{2}}{4}\Rightarrow AB^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\Rightarrow AB=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Sau in triunghiul ABC dreptunghic in A aplicam functiile trigonometrice: $latex \sin B=\frac{cateta\;\; opusa}{ipotenuza}\Rightarrow \sin 30^{0}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\frac{a}{2}$

Pentru a afla AB, aplicam $latex \cos B=\frac{cateta\;\; alaturata}{ipotenuza}\Rightarrow \cos 30^{0}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{a}\Rightarrow AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$latex \sin 30^{0}=\frac{1}{2}; \cos 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \tan 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

sin 60°=$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$;  cos 60°$latex =\frac{1}{2}$; tg 60°=$latex \sqrt{3}$; ctg 60°$latex =\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Asadar, cu ajutorul functiilor trigonometrice, putem rezolva mai usor triunghiul dreptunghic, dar nu trebuie sa uitam de Teorema lui Pitagora,  Teorema inaltimii si teorema Catetei, fiecare avand un rol destul e important.