Calculul de distante si unghiuri

Prezentam rezolvarea unei probleme in care calculam distanta de la un punct la un plan, dar si distanta de la un punct la o dreapta, cat si masura unghiului diedru a doua plane.

Pe planul triunghiului dreptunghic ABC (m(<A)=90) cu AB =30 cm ,AC= 40cm, se ridica perpendiculara AP cu $AP=8\sqrt{3}$

Aflati:

a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC)
c)masura unghiului dietru format de planele (PBC)si(ABC)

Demonstratie:
Stim din ipoteza ca $AP\perp (ABC)$ , astfel in triunghiul dreptunghic ABC construim inaltimea AD, adica $AD\perp BC$
Stim ca $AD\subset (ABC)$ , deci cu Teorema celor trei perpendiculare rezulta ca si $PD\perp BC$ si astfel distanta de la P la BC este PD $d(P, BC)=PD$

Dar mai intai aflam AD, stim ca triunghiul ABC este dreptunghic, deci mai intai aflam ipotenuza, adica $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\Rightarrow BC^{2}=30^{2}+40^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{900+1600}\Rightarrow BC=\sqrt{2500}=50\;\; cm$

Acum cu Teorema inaltimii in triunghiul dreptunghic ABC obtinem:
$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{30\cdot 40}{50}=\frac{30\cdot 4}{5}=\frac{6\cdot 4}{1}=24\;\; cm$
Observati ca mai sus am efectuat cateva simplificari pentru a ne usura calculele.
Acum ca stim si AD si AP, in triunghiul dreptunghic PAB, aplicam Teorema lui Pitagora $PD^{2}=PA^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD=\left(8\sqrt{3}\right)^{2}+24^{2}\Rightarrow PD=\sqrt{64\cdot 3+576}\Rightarrow PD=\sqrt{192+576}=\sqrt{768}=16\sqrt{3}\;\; cm$

b) distanta de la punctul A la planul (PBC)

Observam ca $PA\perp AB$ , Dar si $PA\perp AC$ , stim si ca $AD\perp BC$
Astfel construim perpendiculara din A pe pe PD, astfel fie $AE\perp PD$ , dar observam ca $PD\subset(PBC)$ , deci cu Reciproca celor trei perpendiculare obtinem ca $AE\perp (PBC)$

Deci avem ca $d(A\left(PBC\right))=AE$
Astfel stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, deci cu Teorema inaltimii obtinem $AE=\frac{PA\cdot AD}{PD}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 24}{16\sqrt{3}}^{(16\sqrt{3}}=\frac{1\cdot 24}{2}=12\;\; cm$

c)masura unghiului diedru format de planele (PBC)si(ABC)
Calculam mai intai intersectia celor doua plane:
$(PBC)\cap (ABC)=BC$
Astfel construim perpendicularele din P pe BC si din A pe BC
Astfel fie $PD\perp BC$
Si $Ad\perp BC$
Astfel avem unghiul $m\left(\widehat{(PBC),(ABC)}\right)=m\left(\widehat{PD, AD}\right)=m\left(\widehat{PDA}\right)=$

Cum triunghiul PAD este dreptunghic aplicam functiile trigonemetrice pentru a afla masura unghiului.
Astfel $\sin\widehat{PDA}=\frac{PA}{PD}=\frac{8\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}^{(8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=30^{0}$
Deci masura unghiului dintre cele doua plane este de 30 de grade.

Calculul de distante si unghiuri

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii