Grupuri de matrice Grupuri de permutari Grupuri Zn

Dupa ce am introdus notiunea de Grup, introducem alte notiuni noi si anume Grup de matrice, Grup de permutari si Grup $Z_{n}$ . Asadar incepem cu:

Grup de matrice.

Fie $n\in N^{*}$ si $M_{n}(C)$ multimea matricelor patratice de ordin n cu elemente numere complexe.

Stim din clasa a XI a ca multimea $M_{n}(C)$ impreuna cu adunarea matricelor este asociativa, comutativa si admite element neutru matricea $O_{n}$ , dar si element simetrizabil, asadar stim ca $(M_{n}(C), +)$ este un grup comutativ.

Despre inmultirea matricelor stim ca este un monoid necomutativ, adica este asociativa si admite elementul neutru $I_{n}$ .

Grupul liniar general de grad n

Fie $A\in M_{n}(C)$ . Stim ca matricea A este inversabila in monoidul $(M_{n}(C), \cdot)$ daca si numai daca $det A\neq 0$ . Iar multimea unitatilor monoidului se noteaza $Gl_{n}(C)=\left\{ A\in M_{n}(C)| det (A)\in C^{*}\right\}$

Asadar perechea $(GL_{n}(C), \cdot)$ este un grup necomutativ, numit grup liniar general de grad n peste C.

Definitie:

Matricea $A\in M_{n}(C)$ se numeste matrice ortogonala daca $A^{t}\cdot A=I_{n}$ , iar multimea matricelor ortogonale se noteaza $O_{n}(C)$ .

Grupul permutarilor

Inca din clasa a X a la capitolul „Combinatorica” s-a definit notiunea de permutare. Stim ca permutarea unei multimi $M=\left\{1, 2, 3, ...., n\right\}$ este multimea ordonata cu cate n elemente ce se poate alcatui cu elementele multimii M. Numarul elementelor multimii este $n!$ si se citeste n factorial.

Exemplu:

Permutarile multimii {1, 2, 3} sunt: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), asadar fiecarei permutari putem face sa ii corespunda o functie bijectiva, adica functia care asociaza numarului $k\in \left\{1, 2, 3\right\}$ , elementul aflat in permuatare pe locul k.

Asadar celor sase permutari le corespund cele 6 functii bijective definite pe {1,2 ,3} cu valori in {1, 2, 3} si avem corespondentele:

$(1, 2, 3)\rightarrow {1, 2, 3}; (1, 2, 3)\rightarrow (1, 3, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 1, 3); (1, 2, 3)\rightarrow (2, 3, 1); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 1, 2); (1, 2, 3)\rightarrow (3, 2, 1)$

Definitie!

Fie $n\in N^{*}$ , se numeste permutare a multimii $M=\left\{1, 2, 3,...., n\right\}$ orice functie bijectiva definita pe M cu valori in M.

$S_{n}=\left\{1, 2, 3,...,n\right\}$ , multimea permutarilor de gradul n.

Stim ca $S_{n}=n!$ elemente.

Observatie!!! Permutarile de obicei se noteaza cu ajutorul alfabetului grecesc.

Daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Exemplu:

$S_{2}=2!=2$ , adica avem doua permutari

$(1, 2)\rightarrow (1,2)$ , dar si $(1, 2)\rightarrow (2, 1)$ .

Compunerea permutarilor

Oricare doua permutari din multimea $S_{n}$ se pot compune dupa procedeul de compunere a functiilor.

Astfel stim ca daca compunem doua functii bijective obtinem tot o functie bijectiva, asadar compunerea permutarilor este lege de compozitie.

Pentru simplitate se obisnuieste ca la compunerea permutarilor sa nu se mai foloseasca semnul, adica $\alpha\circ \beta=\alpha\beta$

Exemplu:

$\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Si $\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Atunci $\alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(\beta(1)) & \alpha(\beta(2)) &\alpha(\beta(3)) \end{pmatrix}$

Asadar obtinem $\alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha(3) & \alpha(2) &\alpha(1) \end{pmatrix}$

Adica $\alpha\beta=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Stim din clasa a IX a, compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa, si astfel avem: $\beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(\alpha(1)) & \beta(\alpha(2)) &\beta(\alpha(3)) \end{pmatrix}$

Asadar obtinem $\beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \beta(2) & \beta(1) &\beta(3) \end{pmatrix}$

Adica $\beta\alpha=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Asadar compunerea permutarilor nu este comutativa.

In multimea permutarilor de grad n, un rol important il joaca $e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & .....& n \\ 1 & 2 & 2 & .....& n \end{pmatrix}$ , numit permutarea identica.

Teorema. Fie $n\in N^{*}$ si $S_{n}$ multimea permutarilor de grad n, atunci $(S_{n}, \circ)$ este un grup numit grupul permutarilor de grad n. Daca $n\geq 3$ , atunci $(S_{n}, \circ)$ este un grup necomutativ.

Grupul $Z_{n}$

Fie $n\in N^{*}$ , stim ca $Z_{n}=\left\{\widehat{0},\widehat{1},\widehat{2}, ....,\widehat{n-1}\right\}$ numita multimea claselor de resturi modulo n. Pe multimea $Z_{n}$ s-au definit operatiile de adunare si inmultire a claselor de resturi modulo n.

Astfel $(Z_{n}, +)$ este grup abelian numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar $(Z_{n},\cdot)$ este monoid comutativ.

Si $U(Z_{n})=\left\{\widehat{k}|(n, k)=1\right\}$ – numita multimea elementelor inversabile din $Z_{n}$ , adica numerele n si k sunt prime intre ele (cel mai mare divizor comun este 1).