Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.
Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)
Stim ca astfel avem si ca , adica . Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :
Dar de unde obtinem si ca . Adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic DAC obtinem:
Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.
Fie ABCD trapez si . Daca cm si se cere:
a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului
b) Calculati perimetrul , O fiind mijlocul lui AB
c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD
Demonstratie:
Observam ca :
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema , astfel obtinem: si
Notam AD=DC=BC=x
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica .
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel
DEci gasim ca
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca .
Acum :
astfel gasim ca
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu si astfel triunghiul CBO echilateral astfel .
c) Linia mijlocie a trapezului, fie M mijlocul lui AD si N mijlocul lui BC, astfel obtinem
Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.
Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.
Observati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie. Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.
Astfel stim ca trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca unde AB este baza mare si CD- baza mica.
Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.
ABCD trapez, EF linie mijlocie
Rezulta ca
Problema! 1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza:
Conform teoremei de mai sus avem ca: , Deoarece stim ca si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca
Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are , mai stim si ca unghiul E este de , si astfel gasim ca unghiul ECB este de si astfel aplicam teorema , astfel obtinem ca
In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca , deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.
Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica.
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel .
Deci DC=16 cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.
Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem: .
In clasa a VII-a profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC si AM mediana .
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
AM mediana .
Cz:
Dem: .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC isoscel, avand un unghi de celelalte doua alaturate bazei o sa aiba . Rezulta ca . Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema , fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem
Astfel .
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic .
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip: isoscel AB=AC
BC baza a.i AD=DC a.i AE=EB
Cz:
Dem: – linie mijlocie, atunci
Cum
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem .
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.