Dreapta perpendiculara pe un plan. Problema rezolvata

Publicat în noiembrie 15, 2016ianuarie 20, 2018 de daniel

Fie ABC un ∆ echilateral cu latura de 3 cm. În punctul A se construiește perpendiculara pe planul ∆ pe care se considera punctul D astfel incat AD=4 cm. Aflati perimetrul ∆DBC.

Cum triunghiul ABC este echilateral stim ca AB=AC=BC (triunghiul echilateral are toate laturile egale)

Stim ca $DA\perp (ABC)$ astfel avem si ca $DA\perp AB$ , adica $m\left(\widehat{DAB}\right)=90^{0}$ . Si cu teorema lui Pitagora obtinem ca :

$DB^{2}=DA^{2}+AB^{2}\Rightarrow DB^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DB^{2}=16+9\Rightarrow DB=\sqrt{25}\Rightarrow DB=5 cm$

Dar $DA\perp AC$ de unde obtinem si ca $m\left(\widehat{DAC}\right)=90^{0}$ . Adica cu teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic DAC obtinem:

$DC^{2}=DA^{2}+AC^{2}\Rightarrow DC^{2}=4^{2}+3^{2}\Rightarrow DC^{2}=16+9\Rightarrow DC=\sqrt{25}\Rightarrow DC=5 cm$

Asadar, perimetrul triunghiului DBC este

$P_{\Delta DBC}=DB+DC+BC=5+5+3=13 cm$

Problema rezolvata cu trapezul isoscel

Publicat în ianuarie 23, 2014ianuarie 23, 2014 de MATEPEDIA

Sa vedem inca o problema rezolvata cu trapezul isoscel ,trimisa de un cititor MatePedia.

Fie ABCD trapez si $\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]$ . Daca $AB=2a$ cm si $m\left(\prec B\right)=60^{0}$ se cere:

a) Demonstrati ca (AC este bisectorea unghiului $\prec A$

b) Calculati perimetrul $\Delta COB$ , O fiind mijlocul lui AB

c) Calculati linia mijlocie a trapezului ABCD

Demonstratie:

Observam ca :
$\left[AD\right]\equiv\left[DC\right]\equiv\left[CB\right]$
si astfel obtinem ca trapezul este isoscel, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, astfel gasim si ca $m\left(\prec A\right)=60^{0}$
Acum construim perpendicularele CE si DF pe dreapta AB.
Astfel daca aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}=90^{0}$ , astfel obtinem:
$AF=\frac{1}{2}\cdot AD$ si
$BE=\frac{1}{2}\cdot BC$
Notam AD=DC=BC=x
$AB=AF+FE+EB\Rightarrow 2a=\frac{x}{2}+x+\frac{x}{2}\Rightarrow 2a=2x\Rightarrow x=a$
EF=DC=x, deoarece EFDC este dreptunghi
Din ipoteza observam ca triunghiul este isoscel de baza AC, deci unghiurile alaturate bazei sunt congruente, adica $\prec DAC\equiv\prec DCA$ .
Dar cum am construit cele doua perpendiculare observam ca DCEF este dreptunghi si deci astfel $m\left(\prec FDC\right)=m\left(\prec DCE\right)=m\left(\prec CEF\right)=m\left(\prec EFD\right)=90^{0}$
DEci gasim ca
$m\left(\prec ADC\right)=m\left(\prec ADF\right)+m\left(\prec FDC\right)\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=30^{0}+90^{0}\Rightarrow m\left(\prec ADC\right)=120^{0}$
Si cum unghiurile alaturate bazei sunt congruente rezulta ca $m\left(\prec DAC\right)=m\left(\prec DCA\right)=30^{0}$ .
Acum :
$m\left(\prec DAB\right)=m\left(\prec DAC\right)+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow 60^{0}=30^{0}+m\left(\prec CAB\right)\Rightarrow m\left(\prec CAB\right)=30^{0}$
astfel gasim ca $\prec DAC\equiv\prec CAB$
Cum semidreapta AC imparte unghiul in doua unghiuri congruente rezulta ca AC este bisectoarea unghiului A.
b) Cum O este mijlocul lui AB obtinem AO=OB=a
Stim de mai sus ca BC=a, deci triunghiul COB este isoscel cu $m\left(\prec CBO\right)=60^{0}$ si astfel triunghiul CBO echilateral astfel
$P_{\Delta CBO}=3\cdot a=3a cm$ .

c) Linia mijlocie a trapezului, fie M mijlocul lui AD si N mijlocul lui BC, astfel obtinem
$MN=\frac{AB+BC}{2}=\frac{2a+a}{2}=\frac{3a}{2}$

Cum aplicam linia mijlocie intr-un triunghi

Linia mijlocie intr-un trapez

Publicat în ianuarie 20, 2014ianuarie 26, 2019 de MATEPEDIA

Dupa ce am discutat despre Linia mijlocie intr-un triunghi a venit vremea sa discuta si despre linia miljocie intr-un trapez. Dar mai intai sa definit notiunea de linie mijocie intr-un trapez.

Definitie: Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi neparalele ale unui trapez se numeste linia mijlocie intr-un trapez.

Observati ca definitia de la linia mijlocie dintr-un triunghi se aseamana cu linia mijlocie intr-un trapez, diferenta o fac doar figurile geometrice si valoarea care o obtinem cand calculam linia mijlocie.

Teorema. Intr-un trapez linia mijlocie este paralela cu cele doua baze si masoara jumatate din suma celor doua baze.

Astfel stim ca $ABCD$ trapez, EF linie mijlocie. Rezulta ca AB||EF||CD si ca $EF=\frac{B+b}{2}=\frac{AB+CD}{2}$ unde AB este baza mare si CD- baza mica.

Teorema Intr-un trapez lungimea segmentului determinat de intersectiile liniei mijlocii cu diagonalele este egala cu jumatate din modului diferentei lungimilor bazei.

ABCD trapez, EF linie mijlocie
$AC\cap BD=\left\{O\right\}$
Rezulta ca $GH=\frac{|AB-CD|}{2}$

Problema!
1) In trapezul dreptunghic ABCD cu AB|| CD si AB>CD $\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}$ se cunoaste lungimea segmentului care uneste mijloacele diagonalelor PQ= 8 cm. Aflati lungimile bazelor si perimetrul triunghiului ABC.
Ipoteza:

ABCD trapez dreptunghic
AB|| CD, AB>CD
$\left[AC\right]\equiv\left[BC\right], m\left(\prec B\right)=60^{0}$
PQ=8 cm
Concluzie:
AB=?
CD=?
$P_{\Delta ABC}=?$
Demonstratie!

Stim din ipoteza ca PQ= 8 cm

Conform teoremei de mai sus avem ca: $PQ=\frac{AB-CD}{2}\Rightarrow AB-CD=16 cm\Rightarrow BE=16 cm$ , Deoarece stim ca $AB=AE+EB\Rightarrow EB=AB-AE$ si cum AECD dreptunghi si AE=DC, astfel gasim si ca $DC= 16 cm$

Astfel am construit in triunghiul ABC inaltimea CE, stim ca unghiul B are $60^{0}$ , mai stim si ca unghiul E este de $90^{0}$ , si astfel gasim ca unghiul ECB este de $30^{0}$ si astfel aplicam teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , astfel obtinem ca $EB=\frac{BC}{2}\Rightarrow 2\cdot EB=BC\Rightarrow BC=2\cdot 16 cm\Rightarrow BC=32 cm$

In triunghiul ABC stim ca AC=BC, dar mai stim si ca $m\left(\prec B\right)=60^{0}$ , deci obtinem ca triunghiul ABC este echilateral, adica AB=AC=BC=32 cm.

Deci stim baza mare, acum trebuie sa aflam baza mica.
Acum stim ca AB=AE+EB, de unde obtinem $16=AE+8\Rightarrow AE=32-16\Rightarrow AE=16 cm$
Mai stim ca ADCE este dreptunghi si astfel $AE=DC$ .
Deci DC=16 cm si astfel am gasit si baza mica, adica 16 cm.

Acum aflam perimetrul triunghiului ABC, cu stim ca AB=AC=BC=32 cm obtinem:
$P_{\Delta ABC}=3\cdot l=3\cdot 32=96 cm$ .

Recapitulare geometrie evaluarea initiala clasa a VIII-a

Publicat în septembrie 15, 2013septembrie 16, 2014 de MATEPEDIA

In clasa a VII-a profesorul vostru a insistat foarte mult sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Poate v-ati intrebat de ce! Pentru ca o sa va ajute foarte mult in clasa a VIII-a si la Evaluarea Nationala.
Ca sa putem sa le folosim trebuie sa ne reamintim enunturile, dar si cum ne ajuta sa rezolvam problemele pentru geometrie evaluarea initiala.
1) In triunghiul dreptunghic ABC $m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)$ si AM mediana $ M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm$ .
a) Calculati aria si perimetrul triunghiului ABC
b) Inaltimea dusa din varful unghiului drept
Ip:
$\Delta ABC m(\prec A)=90^{0}, AD\bot BC , D\in (BC)$
AM mediana
$ M\in (BC), AB<BC, AB=16 cm, m(\prec DAM)=30^{0}$ .
Cz:
$A_{\Delta ABC}=? P_{\Delta ABC}=?$

Dem:

$ \\m(\prec DAM)=30^{0} \\AD\bot BC \Rightarrow m(\prec ADM)=90^{0} \\ m(\prec ADM)+m(\prec DAM)+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow \\90^{0}+30^{0}+m(\prec AMD)=180^{0}\Rightarrow \\120^{0}+m(\prec AMD)=180^{0} \Rightarrow \\m(\prec AMD)=180^{0}-120^{0}\Rightarrow \\ m(\prec AMD)=60^{0}=m(\prec BMA) $
$ \\ m(\prec BMC)=180^{0} \\m(\prec BMC)=m(\prec BMA)+m(\prec AMC)\Rightarrow \\ 180^{0}=60^{0}+ m(\prec AMC)\Rightarrow \\ m(\prec AMC)=120^{0} $ .
Cum AM mediana constatam ca triunghiul AMC isoscel, avand un unghi de
$ 120^{0}$ celelalte doua alaturate bazei o sa aiba $60^{0}:2=30^{0}$ . Rezulta ca $m(\prec ACB)=30^{0}$ . Stiind ca AB=16 cm. Putem sa aplicam fie Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ , fie functiile trigonometrice. Daca aplicam Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$ obtinem BC=32 cm.
Acum, aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem AC.
$ \\BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} \Rightarrow \\1024=256+AC^{2}\Rightarrow \\ 1024-256=AC^{2}\Rightarrow \\768=AC^{2}\Rightarrow \\AC=\sqrt{768} $
Daca scoatem factorii de sub radical obtinem $AC=16\sqrt{3}$
Astfel
$ P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC \\=16+32+16\sqrt{3}= \\= 48+16\sqrt{3}= \\16(3+\sqrt{3})$ .
Aria triunghiului, aplicam formula bine cunoscuta pentru triunghiul dreptunghic
$ A_{\Delta ABC}=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{2}= \\\frac{256\sqrt{3}}{2} \\ 128\sqrt{3} cm^{2}$ .
b) inaltimea in triunghiul ABC o calculam cu formula(atentie numai in cazul in care triunghiul este dreptunghic, acelasi lucru si daca vrem sa aplicam functiile trigonometrice, triunghiul unde aplicam trebuie sa fie dreptunghic)
$ AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}= \\\frac{16\cdot 16\sqrt{3}}{32}= \\\frac{256\sqrt{3}}{32}= \\8\sqrt{3}$

D E LINIE MIJLOCIE IN TRIUNGHIUL ISOSCEL

Recapitulare clasa a VII-a Proprietatile triunghiului

Publicat în septembrie 15, 2013mai 3, 2014 de MATEPEDIA

Un rol important in clasa a VII-a o sa-l joace proprietatile triunghiului. Poate ati auzit ca ca anul acesta o sa invatati Teorema lui Pitagora, Teorema inaltimii, Teorema catetei. Ca sa putem intelege aceste trei teoreme trebuie sa stim proprietatile triunghiului. Incepem prin a ne reaminti cum se rezolva problemele si teoria pe care o folosim o sa o enuntam.
1) In triunghiul ABC isoscel de baza BC, D mijlocul laturii AC, E mijlocul laturii AB , iar DE=12 cm si perimetrul triunghiului ABC este egal cu 88 cm.
Calculati masura laturilor congruente ale triunghiului isoscel ABC.
Ip:
$ \Delta ABC$ isoscel AB=AC
BC baza
$D\in AC$ a.i AD=DC
$E\in AB$ a.i AE=EB
$DE=12 cm$
$P_{\Delta ABC}=88 cm$
Cz:
$ AB=?; AC=? $
Dem:
$ P_{\Delta ABC}=88 cm$
$AB+AC+BC=88 cm$
$\\DE$ – linie mijlocie, atunci
$DE=\frac{1}{2}\cdot BC \Rightarrow 12 cm =\frac{1}{2}BC \Rightarrow BC=24 cm.$
$AB+AC+24=88 cm \Rightarrow AB+AC=88-24\Rightarrow AB+AC=64 cm $
Cum $ AB=AC\Rightarrow AB=AC=\frac{1}{2}\cdot 64\Rightarrow AB=AC=32 cm $
Important la problemele de geometrie sunt datele problemei pe care trebuie sa le inteledem deoarece o sa ne ajute la rezolvarea problemei.
De asemenea si figura este foarte important sa fie realizata corect.
In cazul nostru de fata stim ca D este mijlocul lui AC, iar E mijlocul lui AB.
Astfel daca ne reamintim din clasa a VI-a definitia liniei mijlocii(segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale uni triunghi se numeste linie mijlocie) si teorema care am invatat-o ( Orice linie mijlocie a unui triunghi:
– este paralela cu latura care nu are nici un punct in comun cu ea
– are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii paralela cu ea ). Ce aici obtine lungimea laturii BC=24 cm.
Cum stim ca perimetrul oricarei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor, obtinem $AB+AC=64 cm$ .
Stim de cand am invatat proprietatile triunghiului isoscel ca AB=AC (triunghiul isoscel are doua laturi egale) si atunci 64:2=32, deci AB=AC=32 cm.