Cum aflam linia mijlocie intr-un trapez dreptunghic

Sa vedem cum putem afla linia mijlocie intr-un trapez, trapez dreptunghic !

In trapezul dreptunghic ABCD,AB perpendicular pe CD, $m\left(\widehat{B}\right)=m\left(\widehat{C}\right)=90^{0}$ se stie ca DB este bisectoarea unghiului D si $DB=12\sqrt{3}$ cm. Daca $m\left(\widehat{A}\right)= 120^{0}$ sa se afle lungimea liniei mijlocii.

Demonstratie:

Stim ca $\prec{A}=120^{0}$ , dar si $\prec{B}\equiv\prec{C}=90^{0}$

Deci $m\left(\widehat{ADC}\right)=360^{0}-120^{0}-180^{0}=240^{0}-180^{0}=60^{0}$

Cum DB este bisectoarea unghiului D gasim ca

$m\left(\widehat{ADB}\right)=m\left(\widehat{BDC}\right)=\frac{60^{0}}{2}=30^{0}$

Cum triunghiul BCD este dreptunghic putem aplica:

Teorema $30^{0}-60^{0}-90^{0}$

Astfel $BC=\frac{BD}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\;\; cm$

Acum construim perpendiculara din A pe CD, astfel obtinem ABCT dreptunghi, deci $AT=6\sqrt{3}$

Acum cu Teorema lui Pitagora in triunghiul BDC obtinem:

$BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}\Rightarrow CD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}-\left(6\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow CD=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18\;\; cm$

Daca in triunghiul ATD aplicam tangenta de 60 de grade obtinem:

$\tan ADT=\frac{AT}{TD}\Rightarrow \tan 60^{0}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{TD}\Rightarrow TD=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6 cm$ Cum stim TD, putem afla CT=18-6=12 cm.

Dar ABCT dreptunghi si astfel gasim si ca AB=CT=12 cm.

Observam ca in triunghiul ADB $m\left(\widehat{BAD}\right)=120^{0}$ , dar si ca $m\left(\widehat{ADB}\right)=30^{0}$ , deci $m\left(\widehat{ABD}\right)=30^{0}$ si astfel gasim ca triunghiul ABD isoscel, adica AB=AD=CT=12 cm.