Exercitii cu radicali Exercitii cu numere reale

Dupa ce am discutat despre numere reale, adica Radacina patrata a unui numar natural patrat perfect, Modulul unui numar real, Reprezentarea pe axa a numerelor reale, Produsul radicalilor, Catul radicalilor, Introducerea factorilor sub radicali, Scoaterea factorilor de sub radicali, Operatii cu numere reale, Rationalizarea numitorilor unei fractii, Formule de calcul prescurtat si nu in ultimul rand Media geometrica adoua numere reale nenegative astazi o sa ne reaminitm cum se efectueaza aceste exercitii, adica o recapitulare a intregului capitol al Numerelo reale. Astfel prezentam Exercitii cu radicali

1. Rezultatul calculului $\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{5}{4\sqrt{3}}$ este …

Ca sa aflam rezultatul acestui calcul mi intai rationalizam numitorii dupa cum am invatat si astfel obtinem:

$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}-\frac{5\sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{12}=\frac{5\sqrt{3}}{12}$

2) Calculand $\sqrt{27}\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$ se obtine….

Solutie:

$3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{4\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{3}\right)=3\sqrt{3}\left(\frac{-sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)=-3$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus, mai intai am scos factorii de sub radicali, iar apoi am rationalizat, am efectuat calculele si astfel am gasit rezultatul final, nu inainte de a simplifica pe unde am putut.

3. Rezultatul calculului $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ este egal cu …
Solutie

Ca sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

a sa afla rezultatul calculului mai intai rationalizam numitorii, cu regula care am invatat-o la lectua Rationalizarea numitorilor

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{4}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{1^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=$

$\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=1$

4. Daca $x=\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+|\sqrt{5}-3|=|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{5}-3|=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=-2+3=1$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus trebuie sa tinem cont de anumite reguli, adica:

stim $\sqrt{a^{2}}=|a|=a,\;\;\;daca\;\;\; a>0$ si $-a\;\;\;daca \;\;\;a<0$ astfel in cazul nostru stim ca $\sqrt{5}\approx 2, 236$ deci mai mare decat 2 si astfel obtinem:

$\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}=|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}-2$

asemanator facem si pentru $|\sqrt{5}-3|$ .

5. Daca $x=\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}, y=\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}}$ si $z=2\sqrt{6}\left(\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$ , atunci x+y-z este….

Solutie:

Calculam mai intai

$x=|1-\sqrt{2}|=-\left(1-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1$ , iar apoi

$y=|\sqrt{2}-3|=-\left(\sqrt{2}-3\right)=3-\sqrt{2}$ , deoarece observam ca $\sqrt{2}<3, \sqrt{2}\approx 2,141$

iar

$z= 2\sqrt{6}\left(\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right)=2\sqrt{6}\cdot \frac{4\sqrt{9}-3\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{4\cdot 3-3\cdot 2}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{12-6}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\cdot\frac{6}{\sqrt{6}}=2\cdot 6=12$

Observam ca la exercitiul de mai sus mai intai in paranteza am adus la acelasi numitor comun (puteam sa si rationalizam, de obiecei alegem metoda care ni se pare mai usoara), am efectuat calculele din paranteza , iar apoi am efectuat produsul dintre numarul din fata parantezei si rezultatul din paranteza, nu inainte de a simplifica.

Acum calculam $x+y-z=\sqrt{2}-1+3-\sqrt{2}-12=2-12=-10$

6. Calculand $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{6}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}$ , se obtine…

Solutie

$\frac{2\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{6\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{5}= \frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{5-3}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ .

Observati ca acum am rationalizat pare mai usor de calculat si gasim cam greu numitorul comun, iar apoi am efectuat calculele cu numere reale, adica am folosit regulile de calcul cu radicali si astfel am gasit rezultatul.

7. Daca $a=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^{2}}$ si $b=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}}$ atunci media aritmetica a lor este egal cu….

Solutie:

Mai intai calculam $a=|\sqrt{3}-3|=-\left(\sqrt{3}-3\right)=3-\sqrt{3}$ , iar

$b=|2+\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}$ , astfel media aritmetica a celor doua numere este:

$m_{a}=\frac{a+b}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{2}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2}$ .

8. Calculand

$\left(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right)^{12}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}-|2-\sqrt{5}|$ se obtine…

Solutie:

$\left(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}-\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}\right)^{12}+|1-\sqrt{5}|-\left[-\left(2-\sqrt{5}\right)\right]=$

$\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}\right)^{12}+\sqrt{5}-1-\left(-2+\sqrt{5}\right)=$

$\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+\sqrt{5}-1+2-\sqrt{5}=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}-\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}\right)^{12}+1$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus observam ca am rationalizat fractiile, iar apoi am efectuat calculele si astfel am observat ca ni s-au redus toti termenii, iar modulele le-am rezolvat cum am facut mai sus .Astfel am obtinut rezultatul 1.

9. Calculand $\sqrt{4-\sqrt{7}}\cdot\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}$ se obtine….

Solutie

$\sqrt{\left(4-\sqrt{7}\right)\cdot\left(4+\sqrt{7}\right)}$

$-\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}=$

$\sqrt{4^{2}-\sqrt{7}^{2}}-\sqrt{2^{2}-\sqrt{3}^{2}}= \sqrt{16-7}-\sqrt{4-3}=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$

Ca sa rezolvam exercitiul de mai sus am folosit produsul radicalilor, dar si formulele de calcul prescurtat, adica formula $a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\cdot\left(a+ \right)$ precum si radacina patrata a unui numar natural.

Deci e important ca la exercitii cu radicali sa invatam toate notiunile care tin de acest capitol.