Teorema celor trei perpendiculare Problema rezolvata

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura AB=18 cm se ridica perpendiculara pe planul triunghiului in centrul cercului circumscris triunghiului, $MO\perp \left(ABC\right)$ , cu MO= 3cm. Calculati distantele de la punctul M la laturile triunghiului.

Demonstratie

distanta de la un punct la o dreapta

Stim ca
$MO\perp\left(ABC\right)$ (din ipoteza)
Stim ca O este punctul de intersectie al mediatoarelor, dar mai stim si ca, conform proprietatii triunghiului echilateral: Intr-un triunghi echilateral medianele, mediatoarele, bisectoarele si inaltimile coincid, deci putem considera ca CF este si inaltime, $F\in \left(AB\right)$ , astfel

$OF\perp AB, OF, AB\subset \left(ABC\right)$ si cu Teorema celor Trei perpendiculare obtinem ca $MF\perp AB$ si astfel am gasit distanta de la punctul M la dreapta AB .
Stim ca triunghiul MOF este dreptunghic in O, din ipoteza stim MO=3 cm,iar pentru a afla OF stim ca CF este mediana .Mai stim ca medianele intr-un triunghi sunt situate la doua treimi fata de varf, adica $CO=\frac{2}{3}\cdot CF$ si o treime fata de baza, adica $FO=\frac{1}{3}\cdot CF$ , tot cu proprietatea care am enuntat-o mai sus stim ca CF este si inaltime, iar inaltimea intr-un triunghi echilateral este $Cf=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ , iar $FO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ .
Acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul MOF si obtinem
$MF^{2}=MO^{2}+FO^{2}\Rightarrow MF^{2}=3^{2}+\left(3\sqrt{3}\right)^{2}\Rightarrow MF^{2}=9+27\Rightarrow MF=\sqrt{36}\Rightarrow MF= 6 cm$ .
Deci $d\left(M, AB\right)=MF=6cm$
Acum pentru a afla d(M, BC)
Observam de asemenea ca $MO\perp\left(ABC\right)$
De asemenea $DO\perp BC$ , iar cu Teorema celor trei perpendiculare obtinem $MD\perp BC$
Deci d(M BC)=MD

Acum la fel ca si mai sus $DO=\frac{1}{3}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ , stim ca AD este inaltime in triunghiul echilateral, adica $AD=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ , atentie aceasta formula o aplicam doar pentru triunghiul echilateral ca sa aflam inaltimea, iar acum in triunghiul dreptunghic MDO dreptunghic in O, aplicam Teorema lui Pitagora
$MD^{2}=MO^{2}+OD^{2}\Rightarrow MD^{2}=9+27\Rightarrow MD=\sqrt{36}\Rightarrow MD=6 cm$

Acum pentru a afla distanta de la M la dreapta AC
Deci $d\left(M, AC\right)=ME$

Stim ca

$MO\perp \left(ABC\right)$
$OE\perp AC, OE, AC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow ME\perp AC$
Deci $\left(M, AC\right)=ME$
Cum stim ca triunghiul MOE este dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora
$ME^{2}=MO^{2}+OE^{2}\Rightarrow ME^{2}=9+27\Rightarrow ME=\sqrt{36}\Rightarrow ME=6$
Deci am gasit ca distanta de la punctul M la dreptele AB, AC, BC este egala cu 6 cm.

Teorema celor trei perpendiculare Problema rezolvata

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Recente

Categorii