Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia de 8 cm.
Desenati cubul
Determinati:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2. Fie piramida patrulatera regulata VABCD, cu toate muchiile de lungime 8 cm.
a) Desenati si notati o astfel de piramida
b) Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si VC
c)Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si AC
d) Calculati distanta de la V la BC
e) Calculati distanta de la V la (ABC)
f)Determinati masura unghiului dintre dreptele VD si BC
g) Determinati masura unghiului dintre dreptele AD si BC
Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.
Exemplu:
Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele si DO, unde .
Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si
Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca
Astfel obtinem
Pentru a afla DO, observam ca ( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.
Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este , adica
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem
Observam ca , adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.
Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.
Astfel cu Teorema cosinusului
Adica
Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie , cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem , deci in triunghiul dreptunghic DOM in M
Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:
Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.
Dupa ce au fost introduse notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .
Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.
1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.
a) Aflati distanta dintre A si C’
b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?
c) Cate acvarii putem construi di de sticla?
Demonstratie:
Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
Dar stim ca , foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
Astfel suprafata unui acvariu este de
Si din obtinem , adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu si
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei
Demonstratie:
Stim ca
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este
Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.
Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.
Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc. [AO] raza
Dar si notiunea de coarda.
Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda
Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.
Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.
Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.
O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru
Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.
Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza (masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)
Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)
Observam ca
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica
Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.
Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca
Sau mai scriem si ca
Aplicatii !
Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime . Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].
Demonstratie:
Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de Iar masura arcului mare este de
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula , unde este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.
Demonstratie: a) Stim ca aria unui dreptunghi este
Dar transformati in hectare obtinem b)Triunghiul MNB isoscel
Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca
Dar mai stim si ca
Dar stim ca
Si DN este egal cu
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
Dar si
Astfel obtinem ca
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB. c) Masura unghiului MN si NB.
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
Astfel stim ca si
si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca
2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora , unde
Astfel b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
stim ca
Astfel
Stim ca pentru 1 se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie
deci ne trebuie 2160 g c)
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel
Astfel avem
si construim
Astfel avem sinusul unghiului
Observam ca
din a) stim si ca , obtinem si ca , deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca
Astfel mai stim si ca
Astfel egaland ariile stim ca
1. Tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, efectuam mai intai inmultirea si apoi scaderea, deci rezultatul este 0.
2. Solutie
Dupa cum stim din calsele mai mici a este un extrem astfel
3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [1, 5] este 5, deoarece avem un interval inchis la ambele capatete si dupa cum bine stiti se ia si ultimul element daca avem un interval inchis.
4. Perimetrul unui Patrat este , stiind ca latura este de 6 cm, atunci cm
5. Masura unghiului dintre dreptele AB si BF este
Deoarece observam ca triunghiul ABF este dreptunghic in B.
6. Numarul elevilor care au obtinut nota 10 este egal cu 3.
Subiectul II
1.
2. Multipli lui 40 de doua cifre sunt
Deci media aritmetica este
3. Notam cu x suma de bani
Stim ca in prima zi a cheltuit 30% din suma
Iar in a a doua zi restul de 35 de lei.
Astfel avem ecuatia
Iar in prima zi a cheltuit
4. Avem functia liniara
a)
b) Acum pentru a calcula graficul functie, stim ca
y=0 si
Deci avem primul punctu
Iar
Avem
Deci punctul
5. Trebuie sa aratam ca expresia
Asfel avem
Observati ca am folosit formula de calcul prescurtat
Astfel expresia devine