Test geometrie clasa a VIII a

Publicat în noiembrie 23, 2015noiembrie 23, 2015 de MATEPEDIA

Fie cubul ABCDA’B’C’D’ cu muchia de 8 cm.
Desenati cubul
Determinati:
a) $m\left(\widehat{AA'; BC}\right)$
b) $m\left(\widehat{AD'; BC}\right)$
c) $m\left(\widehat{AB'; CD'}\right)$
d) $m\left(\widehat{AA'; B'D'}\right)$
e) $m\left(\widehat{AA'; BD'}\right)$
f) $d(A', AB)$
g) $d(A',BC)$
h) $d(A',BD)$
i) $d(A,(BCC'))$
j) $d(A, (BDD'))$
2. Fie piramida patrulatera regulata VABCD, cu toate muchiile de lungime 8 cm.
a) Desenati si notati o astfel de piramida
b) Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si VC
c)Determinati masura unghiului dintre dreptele VA si AC
d) Calculati distanta de la V la BC
e) Calculati distanta de la V la (ABC)
f)Determinati masura unghiului dintre dreptele VD si BC
g) Determinati masura unghiului dintre dreptele AD si BC

Demonstratie:
a)….

Unghiul a doua drepte in spatiu. Problema rezolvata.

Publicat în noiembrie 16, 2015 de MATEPEDIA

Despre unghiul a doua drepte in spatiu am scris aici. Astazi vom incerca sa aprofundam printr-o problema rezolvata si explicata.

Exemplu:

Fie cubul ABCDA’B’C’D’, cu AB= 2 cm. Calculati cosinusul unghiului dintre dreptele $A'B$ si DO, unde $\left\{O\right\}=BC^{'}\cap B^{'}C$ .

Pentra a afla unghiul celor doua drepte notam cu P intersectia diagonalelor bazei A’B’C’D’, adica fie $A'C'\cap B'D'=\left\{P\right\}$
Observam ca O este mijlocul segmentului BC’, dar si P mijlocul segmentului A’C’, deci PO e linie mijlocie in triunghiul A’BC’. Conform Teoremei de la linia mijlocie stim ca PO||A’B si $PO=\frac{A'B}{2}$

Astfel obtinem ca cosinusul unghiului dintre cele doua drepte este:
$\cos\left(\widehat{DO,A'B}\right)=$
$\cos\left(\widehat{DO, PO}\right)=$
$\cos\left(\widehat{DOP}\right)$

Pentru a afla cosinusul unghiului stim ca trebuie sa avem triunghi dreptunghic.
Dar mai intai sa vedem ce fel de triunghi avem. Stim ca $PO=\frac{A'B}{2}$
Cum A’B este diagonala in patratul A’B’AB, obtinem ca $A'B=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
Astfel obtinem $PO=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Pentru a afla DO, observam ca $DC'=BC'=DB=2\sqrt{2}$ ( diagonale in patratele DD’CC’; BB’CC’; ABCD), astfel obtinem ca triunghiul DBC’ este echilateral si cum O este mijlocul lui BC’, obtinm ca DO este mediana si cu proprietatea de la triunghiul echilateral obtinem ca DO este si inaltime in triunghiul echilateral DBC’.

Stim ca inaltimea intr-un triunghi echilateral este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ , adica $DO=\frac{DC'\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}\;\; cm$
Acum pentru a afla DP, in triunghiul DD’P, dreptunghi in D’ aplicam Teorema lui Pitagora si obtinem $DP^{2}=DD'^{2}+D'P^{2}\Rightarrow DP^{2}=2^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\Rightarrow DP^{2}=4+2\Rightarrow DP=\sqrt{6}$

Observam ca $DP=DO=\sqrt{6}$ , adica triunghiul DOP este isoscel de baza PO.

Acum, pentru a afla cosinusul unghiului, fie aplicam Teorema cosinusului, fie aplicam defintia care am invatat-o in claas a vii-a dar cu conditia sa avem triunghi dreptunghic.

Astfel cu Teorema cosinusului
$DP^{2}=DO^{2}+PO^{2}-2\cdot DO\cdot PO\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \left(\sqrt{6}\right)^{2}=\left(\sqrt{6}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)$
Adica $6-6-2= -2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\left(\widehat{DOP}\right)\Rightarrow \cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{-2}{-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{12}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{12}^{(2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Acum pentru a afla cu notiunile din clasa a VII-a construim inaltimea din D pe PO, fie $DM\perp PO$ , cum Triunghiul DMO dreptunghic in M si cum triunghiul DOP isoscel de baza PO, obtinem ca DM este si mediana, astfel obtinem $MO=MP=\frac{PO}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}$ , deci in triunghiul dreptunghic DOM in M $\cos\left(\widehat{DOP}\right)=\frac{cateta.\;\; alaturata}{ipotenuza}=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{6}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{2\cdot 6}=\frac{2\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Probleme rezolvate cu patrulaterul convex

Publicat în octombrie 1, 2015ianuarie 20, 2016 de MATEPEDIA

Prezentam o problema care o rezolvam folosind cazurile de congruenta de la triunghiurile oarecare, problema cu ajutorul careia obtinem si o proprietate foarte importanta si anume:

Daca intr-un patrulater convex diagonalele se injumatatesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

Ipoteza: ABCD-patrulater convex
[AC] intersectat [BD]={O}
[AO]=[OC]
[BO]=[OD]

Concluzie: ABCD-paralelogram

Consideram triunghiurile AOB si COD. Stim din ipoteza ca $[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai observam si ca $\widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}$

( unghiuri opuse la varf)

Deci obtinem ca triunghiul $\Delta AOB\equiv\Delta COD$

(caz L.U.L)

De unde obtinem si ca $[AB]\equiv[CD]$

(1)

Dar mai avem si triunghiurile AOD si COB. La fel din ipoteza stim ca

$[AO]\equiv [OC]$

Si $[BO]=[OD]$

Dar mai stim si ca $\widehat{AOD}\equiv\widehat{COB}$

(ca unghiuri opuse la varf)

Deci la fel cu cazul de congruenta L.U.L obtinem ca

$\Delta AOD\equiv\Delta COB$

, adica obtinem ca AD=CB (2)

Din (1) si (2), obtinem ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram, conform Teoremei referitoare la laturi pentru paralelogram.

2. In paralelogramul ABCD se duc DN⊥AC,MB⊥AC, unde M,N∈(AC). Demonstrati ca MBDN este paralelogram.

Stim ca MBND patrulater convex, dar mai stim si ca $DM\perp AC$ si $BN\perp AC$ si cu notiunile din clasa a VI a, stim ca DM||BN.

Dar mai avem si triunghiurile ADM si CBN, unde avem ca $[AD]\equiv[BC]$

Din ipoteza stim ca AB|| CD si AC secanta, astfel obtinem ca

$\widehat{BCN}\equiv\widehat{DAM}$

( ca unghiuri alterne interne)

Astfel cu cazul de congruenta I.U obtinem ca $\Delta ADM\equiv \Delta CBN$

, de unde obtinem si ca

$[DM]\equiv[BN]$

Iar cu reciproca a doua referitoare la laturi obtinem ca MBND paralelogram.

Calculul de arii si volume in prisme

Publicat în august 8, 2015 de MATEPEDIA

Dupa ce au fost introduse notiunea de arie laterala, arie totala si volumul unei prisme, rezolvam probleme care in care avem sa calculam arii si volume in prisme diferite. Pentru cei care nu va mai reamintiti formulele pentru arii si volume click aici .

Dar in acest articol ne reamintim cum sa calculam masurii de unghiuri, dar si distanta de la un puncrt la o dreapta, cat si distanta de la un punct la un plan intr-o prisma regulata.

1. Un acvariu care are forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ fara capac, este confectionat din sticla. Se stie ca AB=50 cm, BC=30 cm si inaltimea este AA’=40 cm.

a) Aflati distanta dintre A si C’

b) Cati litri de apa trebuie sa punem in acvariu, pentru ca acesta sa se ridice la o inaltime egala de 30 cm?

c) Cate acvarii putem construi di $10 m^{2}$ de sticla?

Demonstratie:

Astfel stin ca diagonala intr-un paralelipiped dreptunghic este
$d_{paralelipiped}=\sqrt{L^{2}+l^{2}+h^{2}}=\sqrt{50^{2}+30^{2}+40^{2}}=\sqrt{2500+900+1600}=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}\;\; cm$
b) Mai intai calculam volulul acvariului cu inaltimea de 30 cm
$V=A_{b}\cdot h=L\cdot l+\cdot h=50\cdot 30\cdot 30=45000\;\; cm^{3}$
Dar stim ca $1 dm^{3}=1 l$ , foarte important pentru cei care sunteti in clasa a VIII sa tineti minte aceasta formula.
Astfel mai intai transformam din $45000 cm^{3}=45 dm^{3}=45 l$
Asadar trebuie asa punem 45 l de apa pentru ca inatimea apei sa fie de 30 cm.
c) Pentru a afla cate acvarii putem construi, calculam mai intai suparafata unui acvariu si obtinem:
$A_{Acvariu}=A_{l}+A_{b}=P_{b}\cdot h+L\cdot l=2\cdot \left(50+30\right)\cdot 40+50\cdot 30=2\cdot 80\cdot 40+1500=160\cdot 40+1500=6400+1500=7900\;\; cm^{2}$
Astfel suprafata unui acvariu este de $7900\;\; cm^{2}=0,79\;\; m^{2}$
Si din $10\;\; m^{2}$ obtinem $10\;\; m^{2}:0,79\;\; m^{2}=12, 65$ , adica 12 acvarii.
2. Consideram prisma triunghiulara regulata ABCA’B’C’, cu $A_{l}=144\;\; cm^{2}$ si $A_{t}=18\left(8+\sqrt{3}\right)\;\; cm^{2}$
Calculati:
a) Lungimea inaltimii pismei
b) Volumul prismei

Demonstratie:
Stim ca $A_{t}=A_{l}+2\cdot A_{b}\Rightarrow 18\left(8+\sqrt{3}\right)=144+2\cdot\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 144+18\sqrt{3}-144=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 18\sqrt{3}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2\cdot 18\sqrt{3}=l^{2}\sqrt{3}\Rightarrow l^{2}=2\cdot 18\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\;\; cm$
Acum ca stim lungimea laturii patratului putem sa aflam inaltimea astfel stim ca
$A_{l}=P_{b}\cdot h\Rightarrow 3l\cdot h=144\Rightarrow 3\cdot 6\cdot h=144\Rightarrow 18\cdot h=144\Rightarrow h=144:18\Rightarrow h=8$
si astfel am aflat si inaltimea prismei adica AA’=8 cm
b) Acum putem afla si volumul prismei, astfel avem
$V=A_{b}\cdot h=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=\frac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot 8=36\sqrt{3}\cdot 2=72\sqrt{3}\;\; cm^{3}$
Observati ca baz prismei triunghiulare regulate este un triunghi echilatera de unde am obtinut ca aria bazei este $A_{b}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

Asadar, este foarte important sa cunoastem notiunea de calcul de arii si volume in prisme, deoarece dupa cum bine observati aceste notiuni ne ajuta si in viata e zi cu zi.

Cercul. Elemente in cerc Unghi la centru

Publicat în august 6, 2015august 14, 2015 de MATEPEDIA

Foarte important! La notiunile despre cerc pentru a rezolva probleme cat mai complexe trebuie sa stapanim cat mai bine notiunile teoretice. Astfel mai intai definim notiunea de raza.

Definitie: Se numeste raza segmentul care uneste centrul cercului cu un punct de pe cerc. [AO] raza

Dar si notiunea de coarda.

Segmentul care uneste doua puncte de pe cerc se numeste coarda.
[CB] coarda

Coarda care trece prin centrul cercului se numeste diametrul cercului, iar capetele diametrului se numesc diametral opuse.
[CE], C si E diametral opuse
Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.
In figura e mai jos avem arcul de cerc BC.

Doua puncte distincte care nu sunt diametral opuse detrmina doua arce de cerc:
– arcul mic AB
– arcul mare AB, dar pentru a nu exista pericol de confuzie se foloseste inca un punct pentru arcul mare, de exemplu arcul mare ACB

Daca extremitatile unui arc de cerc sunt diamatral opuse, artunci arcul se numeste semicerc.

Punctele care detrmina capetele arcului de cerc se numesc capetele (extremitatile) arcului de cerc.

O alta notiune destul de interesanta este si unghiul la centru

Se numeste unghi la centru unghiul cu varful in centrul cercului. Notiune destul de importanta deoarece cu ajutorul masurii unghiului la centru puntem sa aflam si masura arcului mic cat si masura arcului mare.

Masura unui arc mic de cerc este egala cu masura unghiului la centru corespunzator.
Masura arcului mic AB se noteaza $m\left(AB\right)=m\left(\widehat{AOB}\right)$ (masura arcului mic AB este egala cu masura unghiului la centru AOB)

Masura unui arc mare de cerc este egala cu diferenta dintre $360^{0}$ si masura unghiului la centru corespunzator.
Adica: $m\left(ACB\right)=360^{0}-m\left(\widehat{AOB}\right)$
Observatie. Trebuie sa avem grija sa nu confundam masura unui arc de cerc (exprimate in grade) cu lungimea arcului de cerc exprimat in unitati de lungime.
De exemplu daca avem doua sau mai multe cercuri concentrice (doua cercuri se numesc concentrice daca au aceiasi raza)

Observam ca $m(AB)=m(CD)=m\left(\widehat{AOB}\right)$
Dar lungimile arcului de cerc sunt diferite adica $AB\neq CD$

Doua sau mai multe arce ale aceluiasi cerc se numesc arce congruente daca au aceiasi masura.

Adica, arcul AB este congruent cu arcul CD, daca $\widehat{AOB}\equiv\widehat{COD}$
Sau mai scriem si ca
$AB\equiv CD\Leftrightarrow m\left(AB\right)\equiv m\left(CD\right)$

Aplicatii !

Fie cercul de centru O si raza 4 cm si coarda [MN] o coarda de lungime $4\sqrt{2}\;\; cm$ . Calculati lungimile arcelor de cerc determinate de coarda [MN].

Demonstratie:

Observam ca OM si ON sunt raze, cum stim ca OM=ON=4 cm si $MN=4\sqrt{2}\;\; cm$
Cu Reciproca Teoremei lui Pitagora obtinem ca $OM^{2}+ON^{2}=MN^{2}$
Adica triunghiul MNO estre dreptunghic in O. Adica $m\left(\widehat{MON}\right)=90^{0}$
Si astfel aflam ca masura arcului mic MN este de $90^{0}$ Iar masura arcului mare este de $360^{0}-m\left(\widehat{MON}\right)=360^{0}-90^{0}=270^{0}$
Iar pentru a afla lungimea arcelor folosim formula
$\frac{\pi\cdot u^{0}\cdot r}{180^{0}}$ , unde
$u^{0}$ este masura arcului de cerc, r este raza cercului.
Astfel obtinem ca lungimea arcului mic MN este
$\frac{\pi\cdot 4\cdot 90^{0}}{180^{0}}^{(90}=\frac{4\pi}{2}=2\pi$
Asadar este foarte important sa cunoastem notiunile elementare ale cercului, deoarece constituie elementele esentiale in notiunile care vor fi introduse.

Rezolvari subiecte Evaluarea Nationala 2015

Publicat în iunie 24, 2015iunie 24, 2015 de MATEPEDIA

Demonstratie:
a) Stim ca aria unui dreptunghi este $A_{dreptunghi}=L\cdot l=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000\;\; m^{2}$
Dar transformati in hectare obtinem
$15 000:10000=1,5 ha$
b)Triunghiul MNB isoscel

Stim ca M este mijlocul lui AD astfel avem ca $AM=MD=\frac{100}{2}=50 m$
Dar mai stim si ca $DN=2\cdot NC$
Dar stim ca $DC=DN+NC\Rightarrow 150 m=2NC+NC\Rightarrow 3NC=150 m\Rightarrow NC=150:3\Rightarrow NC=50\;\; m$
Si DN este egal cu $DN=150-50=100$
Triunghiul DMN este dretunghic in D si cu Teorema lui Pitagoram obtinem
$MN^{2}=DM^{2}+DN^{2}\Rightarrow MN^{2}=100^{2}+50^{2}\Rightarrow MN^{2}=10000+2500\Rightarrow MN^{2}=12500\Rightarrow MN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow MN=50\sqrt{5}$
Dar si $BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}\Rightarrow BN^{2}=10000+2500\Rightarrow BN^{2}=12500\Rightarrow BN=\sqrt{12500}=10\cdot 5\sqrt{5}\Rightarrow BN=50\sqrt{5}$
Astfel obtinem ca $MN=BN=50\sqrt{5}\;\; m$
Deci triunghiul MNB isoscel de baza MB.
c) Masura unghiului MN si NB.
$m\left(\widehat{MN,NB}\right)=m\left(\widehat{MNB}\right)=$
Stim ca Triunghiul MNB este isoscel de baza BM, astfel in triunghiul ABM aplicam Teorema luin Pitagora:
$BM^{2}=AM^{2}+AB^{2}\Rightarrow BM^{2}=50^{2}+150^{2}\Rightarrow BM^{2}=2500+22500\Rightarrow BM^{2}=25000\Rightarrow BM=\sqrt{25000}=5\cdot 10\sqrt{10}=50\sqrt{10}$
Astfel stim ca $MN=BN=50\sqrt{5}$ si $BM=50\sqrt{10}$

si cu Reciproca Teoremai lui Pitagora obtinem $BM^{2}=MN^{2}+BN^{2}\Rightarrow 25000=12500+12500$
Astfel obtinem ca Triunghiul MNB este dreptunghic isoscel astfel avem ca $m\left(\widehat{MNB}\right)=90^{0}$

2. Observam ca avem o piramida patrulatera regulata, in care triunghiul VAD este isoscel si VM mediana, inaltime, mediatoare si bisectoare deci cu teorema lui Pitagora $VM^{2}=VA^{2}-AM^{2}$ , unde $AM=MD=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\;\; cm$
Astfel $VM^{2}=\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-3^{2}\Rightarrow VM=\sqrt{45-9}\Rightarrow VM=\sqrt{36}=6\;\; dm$
b) Pentru a afla cate grame de vopsea sunt necesare calculam aria laterala
$A_{l}=\frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$
stim ca
$a_{p}=VM=6 cm$
Astfel $A_{l}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=\frac{12\cdot 6}{1}=72\;\; dm^{2}$
Stim ca pentru 1 $dm^{2}$ se folosec 30 g vopsea, astfel trebuie $72\cdot 30 g=2160g$
deci ne trebuie 2160 g
c) $\sin\left(\widehat{(VAD),(VMB)}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Dupa cum stiti cand avem sa aflam masura unghiului dintre doua plane aflam intersectia celor doua plane, astfel stim ca daca doua plane au un puncte in comun ele au si o drepata in comun, astfel $(VAD)\cap(VBC)={V}$
Astfel avem $VM\perp AD; VM, AD\subset(VAD)$
si construim $VN\perp BC; VN, BC\subset(VBC)$
Astfel avem sinusul unghiului $\sin\left(\widehat{VN,VM}\right)=\sin\widehat{NVM}$
Observam ca $MN=DC=AB=6 dm$
din a) stim si ca $VM=6 dm$ , obtinem si ca $VN=6 cm$ , deci triunghiul MVN este echilateral.
Astfel stim ca $A_{\Delta MVN}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\; dm$
Astfel mai stim si ca $A_{\Delta}=\frac{MV\cdot NV\cdot \sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=\frac{36\cdot\sin\widehat{MVN}}{2}=18\sin\widehat{MVN}$
Astfel egaland ariile stim ca $18\sin\widehat{MVN}=9\sqrt{3}\Rightarrow \sin\widehat{MVN}=\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Rezolvare subiecte Evaluarea Nationala 2015

Publicat în iunie 24, 2015iunie 24, 2015 de MATEPEDIA

La subiectul I

1. Tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, efectuam mai intai inmultirea si apoi scaderea, deci rezultatul este 0.

2. Solutie

Dupa cum stim din calsele mai mici a este un extrem astfel $a=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6$

3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [1, 5] este 5, deoarece avem un interval inchis la ambele capatete si dupa cum bine stiti se ia si ultimul element daca avem un interval inchis.

4. Perimetrul unui Patrat este $4\cdot l$ , stiind ca latura este de 6 cm, atunci $P_{ABCD}=4\cdot 6=24$ cm

5. Masura unghiului dintre dreptele AB si BF este $m\left(\widehat{AB, BF}\right)=m\left(\widehat{ABF}\right)=90^{0}$

Deoarece observam ca triunghiul ABF este dreptunghic in B.

6. Numarul elevilor care au obtinut nota 10 este egal cu 3.

Subiectul II

1.
2. Multipli lui 40 de doua cifre sunt
$M_{40}=\left\{40, 80\right\}$
Deci media aritmetica este
$M_{a}=\frac{40+80}{2}=\frac{120}{2}=60$
3. Notam cu x suma de bani
Stim ca in prima zi a cheltuit 30% din suma
Iar in a a doua zi restul de 35 de lei.
Astfel avem ecuatia $x-30%\cdot x-35=0\Rightarrow x-\frac{30}{100}\cdot x=35\Rightarrow \frac{100x}{100}-\frac{30x}{100}=35\Rightarrow \frac{70x}{100}=35\Rightarrow \frac{7x}{10}=35\Rightarrow x=\frac{35\cdot 10}{7}=\frac{350}{7}=50\;\;lei$
Iar in prima zi a cheltuit
$\frac{30}{100}\cdot 50=\frac{1500}{100}=15\;\; lei$
4. Avem functia liniara $f:R\rightarrow R, f(x)=x+2$
a) $f(-2)=-2+2=0$
b) Acum pentru a calcula graficul functie, stim ca
$G_{f}\cap OX$
y=0 si
$f\left(x\right)=0\rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$
Deci avem primul punctu $A(-2,0)$
Iar $G_{f}\cap OY$
Avem $x=0\rightarrow f(0)=2$
Deci punctul $B(0,2)$

5. Trebuie sa aratam ca expresia $E(x)=-1$
Asfel avem
$E(x)=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}-\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot\frac{x+1}{1}$
Observati ca am folosit formula de calcul prescurtat $a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
Astfel expresia devine
$E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}=\frac{x+7-2x-7}{x}=frac{-x+0}{x}=\frac{-x}{x}=-1$