Aplicatii trigonometrice in geometria plana

Publicat în iunie 16, 2014iulie 17, 2014 de MATEPEDIA

O aplicatie a trigonometriei in geometria plana o reprezinta rezolvarea triunghiurilor.

Astfel fie ABC un triunghi. Numerele a=BC, b=AC, c=AB si $A=m\left(\widehat{BAC}\right), B=m\left(\widehat{ABC}\right), C=m\left(\widehat{ACD}\right)$ , care sunt elementele triunghiului.

Triunghiul ABC este bine determinat daca se cunosc elementele sale.

A rezolva un triunghi inseamna a determina elementele triunghiului cunoscand trei dintre acestea.

Astfel avem mai multe cazuri de congruente:

a) Rezolvarea triunghiului dreptunghic cand se cunosc laturile (cazul de congruenta L.L.L)

In acest caz elementele cunoscute sunt a,b, c si elementele necunoscute sunt A, B, C.

Astfel din teorema cosinusului avem ca:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\Rightarrow a^{2}=$

$c^{2}+b^{2}-2\cdot c\cdot b\cdot\cos A\Rightarrow$

$a^{2}-c^{2}-b^{2}=-2\cdot c\cdot b\cdot \cos A\Rightarrow$

$\cos A=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{-2\cdot c\cdot b}\Rightarrow$

$\cos A=\frac{\left(-a^{2}+c^{2}+b^{2}\right)}{-2\cdot c\cdot b}$

$\Rightarrow \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

La fel obtinem pentru

$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

Dar si

$cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ , relatii care conduc la aflarea unghiurilor triunghiului cand stim laturile.

b) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua unghiuri si o latura comuna (cazul de congruenta U.L.U)

In acest caz elementele cunoscute sunt, de exemplu: a, B, C si elementele necunoscute sunt b, c, A.

In acest caz ca sa aflam masura unghiului , stim ca

$A+B+C=180^{0}$

In cazul de mai sus

$A=180^{0}-B-C$ sau $A=\pi-B-C$ , iar din teorema sinusului obtinem ca:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Astfel obtinem ca

$b=\frac{a\cdot \sin B}{\sin A}=\frac{a\sin B}{\sin\left(B+C\right)}$

c) Rezolvarea triunghiului cand se cunosc doua laturi si unghiul cuprins intre ele (cazul de congruenta L.U.L)

In acest ca putem sa aplicam Teorema cosinusului pentru a afla cea de-a treia latura si Teorema sinusului pentru a afla unghiurile pe care le cunoastem.

Aplicatii:

1) Fie triunghiul ABC, calculati lungimea laturii [BC], stiind ca $m\left(\widehat{A}\right)=60^{0}, AB=4\;\; cm\;\; AC=6\;\; cm$

Demonstratie:

Observati ca suntem in cazul de congruenta L.U.L. Astfel daca in triunghiul ABC aplicam Teorema cosinusului obtinem :

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{A}\Rightarrow$

$BC^{2}=4^{2}+6^{2}-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 60^{0}$

$\Rightarrow BC^{2}=16+36-48\cdot\frac{1}{2}$

$\Rightarrow BC^{2}=52-24=28\Rightarrow BC=\sqrt{28}\Rightarrow BC=2\sqrt{7}$

Fie ABC un triunghi dreptunghic in A si CB=26 cm, $\sin B=\frac{12}{13}$ . Aflati Perimetrul triunghiului ABC

Demonstratie

Stim ca triunghiul ABC este dreptunghic in A, deci putem aplica notiunile trigonometrice invatate in clasele la mici, astfel avem ca:

astfel avem ca:

$\sin B=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\Rightarrow \frac{AC}{26}=\frac{12}{13}\Rightarrow 13\cdot AC=26\cdot 12\Rightarrow AC=\frac{26\cdot 12}{13}=\frac{2\cdot 12}{1}=24\;\; cm$

Acum daca aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ABC, gasim ca:

$AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}\Rightarrow AB^{2}=26^{2}-24^{2}\Rightarrow AB^{2}=676-576\Rightarrow AB^{2}=100\Rightarrow AB=\sqrt{100}\Rightarrow AB=10\;\; cm$

Astfel

$P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=10+24+26=34+26=60$

3) Rezolvati triunghiul ABC in cazul:

$R=4\;\; cm; A=\frac{2\pi}{3}, C=\frac{\pi}{12}$

Observati ca in cazul de sus stim doua unghiuri, iar intr-un triunghi suma masurii unghiurilor este de $\pi$

Astfel avem ca

$A+B+C=\pi\Rightarrow \frac{2\pi}{3}+B+\frac{\pi}{12}=\pi\Rightarrow B=\pi-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\cdot \pi-4\cdot 2\pi-1\cdot \pi}{12}\Rightarrow B=\frac{12\pi-8\pi-\pi}{12}=\frac{3\pi}{12}^{(3}=\frac{\pi}{4}$

Deci $B=\frac{\pi}{4}$

Acum in triunghiul ABC putem aplica Teorema sinusului:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=2\cdot R\Rightarrow \frac{BC}{\sin \frac{2\pi}{3}}=\frac{AB}{\sin \frac{\pi}{12}}=\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4$

Astfel stim ca

$\frac{AC}{\sin\frac{\pi}{4}}=2\cdot 4\Rightarrow \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=8\Rightarrow AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\Rightarrow AC=4\sqrt{2}$

Dar acum stim si ca

$\frac{AB}{\sin\frac{\pi}{12}}=8\Rightarrow AB=\sin \frac{\pi}{12}\cdot 8$ (*)

Dar mai intai sa aflam $\sin \frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Acum daca inlocuim in (*), obtinem ca:

$AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot 8=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}\cdot 2=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Acum ca sa aflam BC, stim ca

$\frac{BC}{sin\frac{2\pi}{3}}=8\Rightarrow BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=$ (**)

Dar mai intai calculam

$\sin\frac{2\pi}{3}$

Observati ca suntem in cadranul II, deci face reducerea la primul cadran si obtinem:

$\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\frac{3\pi-2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Deci in (**) obtinem ca:

$BC=\sin\frac{2\pi}{3}\cdot 8=\sin\frac{\pi}{3}\cdot 8=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8=4\sqrt{3}$

Cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea

Publicat în iunie 1, 2014iunie 1, 2014 de MATEPEDIA

Sa vedem, inca o data, cum rezolvam inecuatiile de gradul al doilea !

O aplicatie a semnului functiei de gradul al doilea $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c,a,b, c\in R, a\neq 0$ o reprezinta rezolvarea inecuatiei $ax^{2}+bx+c\leq 0,\left(geq, <,1.\right), a\neq 0$ .
Rezolvarea unei astfel de inecuatii revine la a determina multimea solutiilor, pentru acesta se studiaza semnul functiei de gradul al doilea, dupa care se alege solutia inecuatiei.
Exemplu:
1) Sa se rezolve inecuatia si sa se interpreteze geometric rezultatele:
a) $-2x^{2}+4x+6\geq 0$
Astfel consideram functia $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=-2x^{2}+4x+6$
Astfel stim ca
$f\left(x\right)=\Rightarrow -2x^{2}+4x+6=0$
Astfel
$\Delta=4^{2}-4\cdot\left(-2\right)\cdot 6=16+48=64$
Astfel ecuatia are solutiile
$x_{1}=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4+8}{-4}=\frac{4}{-4}=-1$
Dar si
$x_{2}=\frac{-4-\sqrt{64}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-4-8}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$
Acum realizam tabelul de semn pentru functia f.

Din tabelul functie observam ca $x\in\left[-1;3\right]$
Deoarece functia f este pozitiva pe intervalul de mai sus.
b) $\frac{x^{2}-3x-4}{4x-x^{2}}$
Solutie:
Mai intai stabilim omeniul de existenta al functie astfel punem conditia ca:
$4x-x^{2}\neq 0\Rightarrow x\left(x-4\right)\neq 0$
Astfel fie
$x\neq 0$
Sau
$x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4$
Deci domeniul de existenta este:
$D=R-\left\{0,4\right\}$ (adica numitorul trebuie sa fie diferit de 0.)
Acum ca sa aflam solutia inecuatiei consideram functiile
$f,g:R\rightarrow R$ si
$f\left(x\right)=x^{2}-3x-4$
Acum rezolvam ecuatia
$f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-3x-4=0$
Astfel
$\Delta=\left(-3\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-4\right)=9+16=25$
Acum
$x_{1}=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$
$x_{2}=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Dar si
$g\left(x\right)=4x-x^{2}$
Adica
$g\left(x\right)=0\Rightarrow 4x-x^{2}=0\Rightarrow x=0$
Sau
$4-x=0\Rightarrow x=4$
Acum realizam tabelul celor doua functii si astfel afla solutia inecuatiei:

Din tabelul celor doua functii reiese ca solutia inecuatiei este S=[-1,0)

Daca nu ati inteles cum se rezolva inecuatiile de gradul al doilea va asteptam sa ne trimiteti si alte exercitii pentru a va ajuta sa le rezolvati. Accesati pagina REZOLVARI !

Reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea

Publicat în aprilie 28, 2014 de MATEPEDIA

Pana acum am invatat sa reprezentam grafic functia de gradul inai, acum o sa invatam reprezentarea grafica a functiei de gradul al doilea.
Astfel consideram functia
$f:R\rightarrow R,f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c, a,b, c\in R, a\neq 0$
Pentru reprezentarea geometrica a graficului functiei de gradul al doilea se parcurg urmatorii pasi:

1. Se calculeaza mai intai punctul de intersectie cu axele de coordonate:
a) $G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(x_{1}, 0\right),B\left(x_{2},0\right)\right\}$
Se rezolva ecuatia de gradul al doilea $f\left(x\right)=0$
Daca $\Delta>0$ punctele de intersectie sunt $A\left(x_{1}, 0\right)$ si $B\left(x_{2},0\right)$ unde $x_{1}, x_{2}$ sunt solutiile reale ale ecuatiei de mai sus.
Daca $\Delta=0$ punctul de intersecite este $A\left(\frac{-b}{2\cdot a},0\right)$
Daca $\Delta<0$ nu existe puncte de intersectie. In acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox, daca a>0 si graficul functiei este dedesubtul axei Ox, daca a<0.
b) Se calculeaza $G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,c\right)\right\}$

2.Punctul de extrem al graficul functie este $V\left(\frac{-b}{2\cdot a}, \frac{-\Delta}{4\cdot a}\right)$
Daca $a>0$ , punctul V este punct de minim
Daca $a<0$ , punctul V este punct de maxim.

3. Curba $G_{f}$ este simetric fata de dreapta $x=\frac{-b}{2\cdot a}$

4. Multimea valorilor functiei f este:

Daca a>0 $Im f=\left[-\frac{\Delta}{4\cdot a},+\infty\right)$
Daca a 5. Aspectul geometric al curbei este:
Daca $a>0$ , aspectul este convex
Daca $a<0$ , aspectul este concav

Exemplu:
1) Sa se reprezinte grafic functia $f:R\rightarrow R$ in cazul
a) $f\left(x\right)=x^{2}-4x-12$
Observam mai intai ca in cazul ecuatiei de mai sus a=1, b=-4, c=-12
1. Calculam, mai intai $G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(6,0\right),B\left(-2,0\right)\right\}$
Rezolvam ecuatia $f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}-4x-12=0$
Astfel avem:
$\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c=\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-12\right)=16+48=64$
$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6$
Astfel avem $A\left(6,0\right)$
$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{4\cdot a}=\frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
si avem $B\left(-2,0\right)$
Acum calculam
$G_{f}\cap Oy=\left\{C\left(0,-12\right)\right\}$
$f\left(0\right)=0^{2}-4\cdot 0-12=-12$
Punctul de extrem al graficului functiei este
$V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=V\left(\frac{-\left(-4\right)}{2\cdot 1},-\frac{64}{4\cdot 1}\right)=V\left(2,-16\right)$
Curba este simetrica fata de drepata $x=-\frac{b}{2\cdot a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}$ =\frac{4}{2}=2
Acum realizam tabelul de valori:

Acum trasam graficul functiei:

b) $f\left(x\right)=-x^{2}+4x-4$
Calculam
$G_{f}\cap Ox=\left\{A\left(2,0\right)\right\}$
Rezolvam ecuatia: $\left(x\right)=0\Rightarrow -x^{2}+4x-4=0$
Astfel avem:
$\Delta =16-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=16-16=0$
Deci obtinem
$x_{12}=\frac{-b}{2\cdot a}=\frac{-4}{2\cdot\left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=2$
Astfel avem $A\left(2,0\right)$
Acum
$G_{f}\cap Oy=\left\{B\left(0,-4\right)\right\}$
Astfel calculam:
$f\left(0\right)=-0^{2}+4\cdot 0-4=-4$
Punctul de extrem al graficului:
$V\left(-\frac{4}{2\cdot\left(-1\right)},-\frac{0}{4\cdot 1}\right)=V\left(\frac{-4}{-2},0\right)=V\left(2,0\right)$

Trasam tabelul de valori:

Acum trasam graficul functiei f:

c) $f\left(x\right)=x^{2}+x+2$
Solutie
Calculam mai intai
$G_{f}\cap Ox$
Astfel
$f\left(x\right)=0\Rightarrow x^{2}+x+2=0$
Calculam
$\Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7$

Deci $\Delta=-7<0$ ecuatia nu are solutii reale, astfel ca nu existe puncte de intersectie.
Observam ca a=1>0, in acest caz graficul functiei este deasupra axei Ox
Acum calculam
$G_{f}\cap Oy=\left\{A\left(0,2\right)\right\}$
Calculam:
$f\left(0\right)=2$
Calculam Punctul de extrem al graficului functiei:
$V\left(-\frac{1}{2\cdot 1}, -\frac{-7}{4\cdot 1}\right)=V\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{4}\right)$
Curba este simetrica fata de dreapa $x=-\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}$
Calculam si
$f\left(-2\right)=\left(-2\right)^{2}-2+2=4+0=4$

Aplicatii ale trigonometriei in geometria plana Produsul scalar doi vectori

Publicat în aprilie 23, 2014ianuarie 17, 2015 de MATEPEDIA

Astazi o sa invatam cum ne ajuta functiile trigonometrice in rezolvarea problemelor din geometria plana.

Astfel incepem cu produsul scalar a doi vectori.

Definitie: Se numeste produsul scalar a doi vectori $\vec{a}$ si $\vec{b}$ numarul $\vec{a}\cdot\vec{b}$ egal cu produsul modulelor vectorilor inmultit cu cosinusul unghiului celor doi vectori.

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{a,b}$

Iar cosinusul unghiului celor doi vectori este: $\cos{a, b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Proprietati:

1) Produsul scalar a doi vectori este nul, daca unul dintre vectori este nul sau daca cei doi vectori sunt ortogonali.

2) Daca $\vec{a}, \vec{b}$ sunt vectori nenuli, atunci $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Expresia analitica a produsului sclar este:

Fie $\left(O,i,j\right)$ un reper cartezian. In acest reper vectorii $\vec{a}$ si $\vec{b}$ se descompun sub forma:

$\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}$ si $\vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}$

Deoarece $\vec{i}\cdot\vec{i}=1,\vec{j}\cdot\vec{j}=1,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{i}=0$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}\right)\cdot\left(b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}\right)= a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ (expresia analitica a produsului scalar).

Acum doi vectori nenuli $\vec{a}=a_{x}\vec{i}+a_{y}\vec{j}$ si $\vec{b}=b_{x}\vec{i}+b_{y}\vec{j}$ sunt perpendiculari daca si numai daca $a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}=0$

Iar cosinusul unghiurilor a doi vectori in functie de coordonatele acestora este $\cos{\widehat{\vec{a}, \vec{b}}}=\frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}}{\sqrt{a^{2}_{x}+a^{2}_{y}}\cdot \sqrt{b^{2}_{x}+b^{2}_{y}}}$

Daca stim coordonatele a doua puncte putem afla mai usor distanta dintre doua puncte.

Teorema. Fie $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2},y_{2}\right)$ puncte in reperul cartezian $\left(O,\vec{i}, \vec{j}\right)$

Atunci $AB=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Teorema cosinusului. Intr-un triunghi ABC au loc egalitatile $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C$

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A$

Sau $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$

Teorema sinusurilor. Intr-un triunghi oarecare au loc egalitatile $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$ unde R este raza.

Prezentam anumite exercitii prin care aplicam notiunile prezentate mai sus:

1) Sa se determine $m\in R$ pentru care vectorii a, si b sunt perpendiculari:

a) $\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{b}=\left(m+1\right)\vec{i}+2\vec{j}$

Observam ca vectorii sunt exprimati sub forma analitica.

Astfel vectorii a si b sunt perpendiculari daca

$2\cdot\left(m+1\right)+1\cdot 2=0\Rightarrow 2m+2+2=0\Rightarrow 2m+4=0\Rightarrow m=\frac{-4}{2}=-2$

$\vec{a}=\left(m^{2}+3\right)\vec{i}+m\vec{j}, b=\vec{i}-4\vec{j}$

Astfel punem conditia ca $\left(m^{2}+3\right)\cdot 1+m\cdot\left(-4\right)=0\Rightarrow m^{2}+3-4m=0\Rightarrow m^{2}-4m+3=0$

Observati ca am obtinut o ecuatie de gradul al II-lea.

Astfel calculam Delta $\Delta =\left(-4\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

Deci $m_{1}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$

Dar si $m_{2}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$

Deci $m\in\left\{1,3\right\}$

2) Fie ABC un triunghi. Sa se arate ca $\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$
Demonstratie:

Daca aplicam relatia lui Chasles obtinem ca:
$\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=-\vec{AB}+\vec{AC}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$

Daca ridicam relatia de mai sus la patrat obtinem:
$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}|^{2}\Rightarrow \vec{BC}^{2}=\left(\vec{AC}-\vec{AB}\right)^{2}\Rightarrow \vec{BC}=\vec{AC}^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}+\vec{AB}^{2}\Rightarrow 2\cdot\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\vec{AC}^{2}+\vec{AB}^{2}-\vec{BC}^{2}\Rightarrow 2\cdot \vec{AB}\cdot\vec{AC}=b^{2}+a^{2}-c^{2}\Rightarrow \vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)$ (1)

Analog pentru $\vec{BA}\cdot\vec{BC}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right)$ (2)

Dar si $\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)$ (3)
Din (1), (2) si (3) obtinem $\vec{AB}\cdot \vec{AC}+\vec{BA}\cdot\vec{BC}+\vec{CA}\cdot\vec{CB}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c^{2}+b^{2}-a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+a^{2}-c^{2}+c^{2}+b^{2}-a^{2}+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(b^{2}+c^{2}+a^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

3) Sa se determine unghiul vectorilor:
$\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}$
Ca sa afla unghiul vectorilor folosim formula:
$\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=\frac{a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}\cdot\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}=\frac{2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2}{\sqrt{2^{2}+\left(-1\right)^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2-2}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{1+4}}=\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{0}{5}=0$
deci obtinem ca
$\cos\widehat{\left(\vec{a},\vec{b}\right)}=0$
De unde obtinem ca $cos \frac{\pi}{2}=0\Rightarrow m\left(\widehat{a,b}\right)=\frac{\pi}{2}=90^{0}$

Deci masura unghiului dintre cei doi vectori este de $90^{0}$

Functiile trigonometrice ale unei sume si ale unei diferente de unghiuri

Publicat în martie 20, 2014 de MATEPEDIA

Astazi o sa invatam sa calculam Functiile trigonometrice ale unei sume si ale unei diferente de unghiuri, astfel

Teorema. Pentru oricare numere reale x si y au loc egalitatatile:

$\cos{\left(x+y\right)}=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot\sin y \\ \cos{\left(x-y\right)}=\cos x\cdot\cos y+\sin x\cdot\sin y \\ \ sin{\left(x+y\right)}=\sin x\cdot\cos y+\sin y\cdot \cos x \\ \sin{\left(x-y\right)}=\sin x\cdot\cos y-\sin y\cdot\cos x$

Consecinta:

Au loc relatiile:

$\cos{\left(x+x\right)}=\cos x\cdot cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos^{2} x-\sin^{2} x$

Deci gasim ca $\cos{ 2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x$

Dar mai stim si ca: $\sin{2x}=\sin{\left(x+x\right)}=\sin x\cdot \cos x+\sin x\cdot\cos x=2\sin x\cos x$

Astfel avem ca: $\sin{2x}=2\sin x\cos x$

Pentru $x\in R$ , unde R este multimea numerelor reale.

Teorema fundamentala a trigonometriei

$cos^{2} x+\sin^{2} x=1$

Observati ca cu ajutorul Teoremei fundamentale a trigonometriei, daca scoatem $\sin^{2} x=1-\cos^{2} x$ obtinem

$\cos{2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x=\cos^{2} x-\left(1-cos^{2} x\right)=cos^{2} x-1+\cos^{2} x=2\cos^{2} x-1$

Daca scoatem din Teorema fundamentala a trigonometriei $latex \cos^{2} x=1-\sin^{2} x$ obtinem:

$\cos{2x}=\cos^{2} x-\sin^{2} x=1-\sin^{2} x-\sin^{2} x=1-2\sin^{2} x$

Exemplu:

Sa se calculeze $\cos{\left(a+b\right)}, \cos{\left(a-b\right)}$ daca:

a) $\sin a=\frac{3}{5}, \sin b=\frac{5}{13}, a,b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

Observati ca stim sin a si sin b, deci trebuie sa aflam cos a si cos de b, pentru ca

$cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot sin b$

Astfel cu ajutorul Teoremei fundamentale a trigonometriei avem ca:

$cos^{2} a+\sin^{2} a=1\Rightarrow \cos^{2} a+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=1\Rightarrow \cos^{2} a+\frac{9}{25}=1\Rightarrow \cos^{2} a=1-\frac{9}{25}\Rightarrow\cos^{2} a=\frac{25-9}{25}\Rightarrow cos^{2}=\frac{16}{25}\Rightarrow \cos a=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}\Rightarrow \cos a=\pm\frac{4}{5}$

In cazul nostru $a\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , deci cosinusul este pozitiv, astfel gasim ca $\cos a=\frac{4}{5}$

Acum sa aflam cos b

Stim ca $\cos^{2} b+\sin^{2} b=1\Rightarrow \cos^{2} b+\left(\frac{5}{13}\right)^{2}=1\Rightarrow \cos^{2} b=1-\frac{25}{169}\Rightarrow \cos^{2} b=\frac{169-25}{169}\Rightarrow \cos^{2} b=\frac{144}{169}\Rightarrow cos b=\pm\sqrt{\frac{144}{169}}\Rightarrow \cos b=\pm\frac{12}{13}$

Stim ca $b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , deci $cos b=\frac{12}{13}$

Acum sa calculam $\cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot cos b-\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}-\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}$

Acum calculam $\cos{\left(a-b\right)}=\cos a\cdot cos b+\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=\frac{63}{65}$

Putem sa calculam si

$\sin\left(a+b\right)=\sin a\cdot \cos b+\sin b\cdot\cos a=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{5}{13}\cdot \frac{4}{5}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$ .

b) $\tan a=\frac{3}{4}, \cos b=\frac{5}{13}, a, b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

Cu teorema fundamentala a trigonometriei stim ca :

$\cos^{2} b+\sin^{2} b=1\Rightarrow \left(\frac{5}{13}\right)^{2}+\sin^{2} b=1\Rightarrow \sin^{2} b=1-\frac{25}{169}\Rightarrow \sin^{2} b=\frac{169-25}{169}\Rightarrow \sin b=\pm\sqrt{\frac{144}{169}}\Rightarrow \sin b=\pm\frac{12}{13}$

Cum $b\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow \sin b=\frac{12}{13}$

Stim sin b, cos b, deci trebuie sa aflam sin a, cos a.

Stim ca $\tan a=\frac{3}{4}$

Mai stim si ca $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}\Rightarrow \sin a=\tan a\cdot\cos a$

Iar cu teorema fundamentala a trigonometriei stim ca:

$\sin^{2} a+\cos^{2} a=1\Rightarrow \tan^{2} a\cdot\cos^{2} a +cos^{2} a=1\Rightarrow$

$\cos^{2}\left(\tan^{2} a+1\right)=1\Rightarrow \cos^{2} a=\frac{1}{\tan^{2} a+1}\Rightarrow$

$\cos a=\pm\sqrt{\frac{1}{\tan^{2} a+1}}\Rightarrow$

$\cos a=\pm\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} a+1}}$

Noi stim ca

$a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ , deci $\cos a=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2} a+1}}$

Deci gasim

$\cos a=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9+16}{16}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}$

Acum sa aflam sin a

Stim ca $\sin^{2} a+\cos^{2} a=1\Rightarrow \sin^{2} a+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1\Rightarrow \sin^{2} a=1-\frac{16}{25}\Rightarrow \sin^{2} a=\frac{25-16}{25}\Rightarrow \sin a=\pm\sqrt{\frac{4}{25}}=\pm\frac{2}{5}$

Cum $a\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ deci $\sin a=\frac{2}{5}$

Acum calculam $\cos{\left(a+b\right)}=\cos a\cdot\cos b-\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}-\frac{2}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20}{65}-\frac{24}{65}=\frac{20-24}{65}=-\frac{4}{65}$

Iar $\cos{\left(a-b\right)}=\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot \sin b=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{2}{5}\cdot\frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{24}{65}=\frac{20+24}{65}=\frac{44}{65}$

Inecuatia de forma ax+b<0 studiate pe R sau pe intervale de numere

Publicat în martie 15, 2014aprilie 10, 2014 de MATEPEDIA

Dupa cum bine stiti inca din generala am invatat cum sa gasim solutia unei inecuatii, dar astazi o sa invatam sa gasim solutia la inecuatia de forma ax+b<0 studiate pe R sau pe intervale de numere.

Astfel mai intai definim notiunea de inecuatie:

Definitie: O inegalitate de forma $ax+b\leq 0 \left(\geq, <,>\right)$ , unde $a, b\in R$ si $a\neq 0$ se numeste inecuatia de gradul I cu o necunoscuta pe o anumita multime.

Exemplu:

1) Sa se rezolve inecuatiile in R:

a) $5-15x\geq 0$

b) $|3x-2|\leq-2$

Solutie:

$5-15x\geq 0|-5\Rightarrow -15x\geq -5|\cdot\left(-1\right)\Rightarrow 15x\leq 5|:5\Rightarrow x\leq\frac{1}{3}\Rightarrow x\in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$ .

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus am scazut 5 atat din membrul stang cat si la membrul drept, apoi am inmultit cu -1 fiecare membru al inecuatiei, schimband atat semnul cat si sensul inegalitatii si impartim fiecare membru prin 5 si astfel am obtinut solutia inecuatiei.

Sau altfel rezolvam inecuatia:

Consideram functia:

$f\left(x\right)=5-15x$

Acum studiem semnul functiei:

Astfel avem:

$f\left(x\right)=0\Rightarrow 5-15x=0\Rightarrow 15x=5|\Rightarrow x=\frac{1}{3}$

Acum tabelul de semn este:

Astfel pe intervalul $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right)$ functia $f\left(x\right)$ are semnul -, deci solutia inecuatiei este $x\in\left(-\infty,\frac{1}{3}\right]$ .
b) $|3x-2|\leq-2$

Ca sa rezolvam inecuatia de mai sus consideram functia $f:R\rightarrow R$ :

$f\left(x\right)=3x-2$ si scriem tabelul functiei:

Astfel

$f\left(x\right)=0\Rightarrow 3x-2=0\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\frac{2}{3}$

Astfel cautam solutiile inecuatiei pe intervalul
$\left(-\infty\frac{2}{3}\right]$ si $\left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$
Daca $x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right]$ inecuatia se scrie:
$-\left(3x-2\right)\leq -2\Rightarrow -3x+2\leq -2\Rightarrow -3x\leq-4|\cdot \left(-1\right)\Rightarrow 3x\geq 4\Rightarrow x\geq\frac{4}{3}$ si astfel gasim solutia
$x\in \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)$
Stim ca $x\in\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]$ , rezulta ca
$x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right]\cap \left[\frac{4}{3}, +\infty\right)=\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]$ obtinem
$x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]$
Daca $x\in\left(\frac{2}{3}, +\infty\right)$ inecuatia se scrie:
$3x-2\leq-2\Rightarrow 3x\leq 0\Rightarrow x\leq 0\Rightarrow x\in\left(-\infty, 0\right]$
Stim ca $x\in\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$ , rezulta ca
$x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\cap \left(-\infty, 0\right)=\left[0,\frac{2}{3}\right]$ obtinem
$x\in\left[0, \frac{2}{3}\right]$ .
Si astfel solutia inecuatiei initiale este:
$x\in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right]\cup\left[0, \frac{2}{3}\right]=\left[0,\frac{4}{3}\right]$
c) $\frac{2}{x-1}+\frac{5x-3}{x-1}\geq 1\rightarrow \frac{2+5x-3}{x-1}\geq 1\Rightarrow \frac{5x-1}{x-1}-1\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-1\left(x-1\right)}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{5x-1-x+1}{x-1}\geq 0\Rightarrow \frac{4x}{x-1}\geq 0$
Acum studiem semnul functiilor de gradul I $f, g:R\rightarrow R, f\left(x\right)=4x, g\left(x\right)=x-1$
asociate numaratorului respectiv numitorului functiei. Astfel studiul il facem pe un tabel comun de semn celor doua functii:
Astfel avem
$f\left(x\right)=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0$
Iar pentru functia $g\left(x\right)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

Astfel solutia inecuatiei este:
$x\in\left(-\infty, 0\right]\cup\left(1,+\infty\right)$
Semnul | din tabelul de mai sus semnnifica ca expresia data nu este definita pentru x=1

Exercitii rezolvate cu paritatea functiilor Functii periodice

Publicat în februarie 12, 2014 de MATEPEDIA

Prezentam exercitii rezolvate in care studiem paritatea functiilor, dar prezentam si notiuni teoretice despre Functii periodice

1) Studiati care din urmatoarele functii sunt pare, care sunt impare si care sunt fara paritate:

a) $f\left(x\right)=x^{3}-2x$

b) $f\left(x\right)=x^{2010}-3x^{2008}$

c) $f\left(x\right)=x^{4}-x$

d) $f\left(x\right)=x|x|$

Solutie

a) R fiind o multime simetrica fata de origine, calculam

$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{3}-2\cdot\left(-x\right)=-x^{3}+2x=-\left(x^{3}+2x\right)=-f\left(x\right)$

Deci functia f este impara

b) Calculam

$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{2010}-3\left(-x\right)^{2008}=x^{2010}-3x^{2008}=f\left(x\right)$

deci functia este para.

c) Calculam

$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^{4}-\left(-x\right)=x^{4}+x\neq f\left(x\right)\neq -f\left(x\right)$

Deci functia nu este nici para nici impara si astfel observam ca functia nu are paritate.

d) $f\left(-x\right)=-x\cdot |-x|=-x\cdot x=-f\left(x\right)$

Si astfel gasim ca functia este impara.

Functii periodice

O functie $f:D\rightarrow R, D\subset R$ se numeste periodica, daca exista $T\neq 0$ astfel incat $x+T\in D$ si $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$ pentru oricare $x\in D$ .

Observatie

Numarul T se numeste perioada pentru f.

Cea mai mica perioada daca exista se numeste perioada principala.

Exemple:

2) Aratati daca urmatoarele functii sunt periodice specificand de fiecare data perioada lor principala:

a) $f:Z\rightarrow Z, f\left(n\right)=\left(-1\right)^{n}$

b) $f:N\rightarrow N, f\left(n\right)=$ ultima cifra a lui $9^{n}$

c) $f:R\rightarrow R, f\left(x\right)=\left\{x\right\}$

Solutie:

a) Punem conditia ca

$f\left(n+T\right)=f\left(n\right)\Rightarrow$

$f\left(n+T\right)=\left(-1\right)^{n+T}=f\left(n\right) \\ \left(-1\right)^{n+T}=\left(-1\right)^{n}\Rightarrow \left(-1\right)^{n}\cdot\left(-1\right)^{T}=\left(-1\right)^{n}$

Deci T trebuie sa fie o putere para astfel incat sa ne ramana decat $f\left(n\right)$ , astfel pentru T=2, obtinem:

$f\left(n+2\right)=\left(-1\right)^{n+2}=\left(-1\right)^{n}$ .

Observam ca $T=2\neq 0$ , dar si $n+2\in Z$ si $f\left(n+2\right)=f\left(n\right)$ .

b) Calculam:

$f\left(n+T\right)=U\left(9^{n+T}\right)$

Si punem conditia ca $f\left(n+T\right)=f\left(n\right)$

$U\left(9^{n+T}\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow U\left(U\left(9^{n}\right)\cdot U\left(9^{T}\right)\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{T}\right]=U\left(9^{n}\right)$

Astfel trebuie sa gasim T astfel incat $f\left(n+T\right)=f\left(n\right)$ pentru T=2 obtinem:

$U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left[U\left(9\right)^{2}\right]=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow U\left[U\left(9\right)^{n}\right]\cdot U\left(81\right)=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow U\left(9\right)^{n}\cdot 1=U\left(9^{n}\right)\Rightarrow f\left(n+2\right)=f\left(n\right)$